Do poprawnego oglądania tej strony, należy włączyć obsługę JavaScript!

Kratownica

Kratownica to układ złożony z prętów połączonych ze sobą w węzłach przegubami

Najprostszym przypadkiem kratownicy jest układ trzech prętów połączonych ze sobą za pomocą trzech węzłów przegubowych:

Prosta kratownica

Rys. 6.1 Prosta kratownica

W tym artykule

Przykładowe zadania

Kiedy układ statyczny nazywamy kratownicą

Aby układ statyczny można nazwać kratownicą obciążenia mogą być do niego przyłożone wyłącznie w węzłach. 

Jeżeli spotkamy się z sytuacją, że do pręta obustronnie zakończonego przegubem mamy przyłożone obciążenie pomiędzy węzłami to nie możemy takiego elementu traktować jako część kratownicy.

Kratownica - schemat obciążenia

Rys. 6.2 Kratownica - schemat obciążenia
Kratownica może być obciążona wyłącznie w węzłach (przegubach)

Konsekwencją wszystkich powyższych zasad dotyczących ustrojów kratowych jest fakt, że siły wewnętrzne występujące w kratownicach to wyłącznie siły normalne (osiowe). 

W kratownicy występują wyłącznie siły normalne (osiowe). Nie ma sił tnących oraz momentów gnących

Jeśli nie możemy przykładać sił (obciążeń) do prętów kratownicy nigdzie poza węzłami oraz wiemy, że wszystkie węzły są przegubowe (moment w przegubie zawsze jest równy zero), to wykres momentów gnących z całą pewnością będzie równy zero, a co za tym idzie - również wykres sił tnących.

Elementy składowe kratownicy:

1
Pas górny
2
Pas dolny
3
Słupek
4
Krzyżulec

Elementy kratownicy

Rys. 6.3 Elementy kratownicy

Most stalowy - przykład kratownicy

Rys. 6.4 Most stalowy - przykład kratownicy

Kratownica przestrzenna

Do tej pory omówiliśmy układy prętowe, które zostały sprowadzone do dwuwymiarowego (płaskiego) układu współrzędnych. 

Jak zatem będą wyglądać w układzie trójwymiarowymi (przestrzennym)? 

Podobnie jak w przypadku płaskim, kratownica przestrzenna składa się z prętów połączonych ze sobą w węzłach za pośrednictwem przegubów:

Kratownica przestrzenna

Rys. 6.5 Kratownica przestrzenna

Kratownica przestrzenna - dźwigar kratowy

Rys. 6.6 Kratownica przestrzenna - dźwigar kratowy

Siły wewnętrzne w prętach kratownicy

Wiemy już, że w kratownicy występują wyłącznie siły osiowe (normalne). 

Jest kilka metod służących do obliczania sił wewnętrznych w prętach kratownicy. 

Omówione zostaną dwie najpopularniejsze z nich:

1
metoda równoważenia węzłów
2
metoda Rittera

Są to metody alternatywne i każda z nich powinna dawać identyczne wyniki w obliczeniach. 

Pręty ściskane i rozciągane

Wyobraźmy sobie, że mamy dany pręt obciążony dwoma siłami, które go ściskają. Aby wyznaczyć wartości sił wewnętrznych w pręcie kratownicy rozcinamy go myślowo.

Pręt ściskany - przekrój

Rys. 6.7 Pręt ściskany - przekrój

Następnie po dokonaniu przekroju zaznaczamy siły wewnętrzne. 

Pręt jest poddany ściskaniu przez siły zewnętrzne. Zgodnie z 3 zasadą dynamiki ściskany pręt stawia opór a więc siły wewnętrzne przeciwdziałają temu ściskaniu. 

Zgodnie z powyższym zwroty sił wewnętrznych będą musiały być przeciwne do zwrotów sił zewnętrznych.

Pręt ściskany - siły wewnętrzne

Rys. 6.8 Pręt ściskany - siły wewnętrzne

Teraz rozważmy pręt rozciągany siłami zewnętrznymi. Znowu dokonujemy myślowego przekroju pręta. Pręt rozciągany - przekró

Rys. 6.9 Pręt rozciągany - przekrój

Następnie zaznaczamy siły wewnętrzne, których zwroty również muszą być przeciwne do zwrotów sił zewnętrznych aby zachodziła równowaga pomiędzy siłami zewnętrznymi i wewnętrznymi. Pręt rozciągany - siły wewnętrzne

Rys. 6.10 Pręt rozciągany - siły wewnętrzne

Metoda równoważenia węzłów

Metoda to polega na wycinaniu poszczególnych węzłów kratowych a następnie obliczaniu sił w prętach przy wykorzystaniu dwóch równań tj. sumy rzutów sił na oś X i na oś Y. 

Mając na uwadze, że do dyspozycji mamy tylko dwa równania, wyciąć możemy wyłącznie tak węzeł w którym mamy tylko dwie niewiadome siły w dwóch prętach.

 Metoda wycinania węzłów

Rys. 6.11 Metoda wycinania węzłów

Przekroju dokonujemy nieskończenie blisko węzła. Zwroty sił wewnętrznych zaznaczamy od przekroju (jak siły rozciągające). Jeśli z naszych obliczeń wyjdzie że siła jest ujemna to będzie oznaczało, że pręt jest ściskany.

Wycięty węzeł kratownicy

Rys. 6.12  Wycięty węzeł kratownicy

Teraz wykorzystując równania rzutów sił na oś x i y możemy obliczyć siły w prętach.

Metoda Rittera

Metoda Rittera polega na przecięciu kratownicy płaszczyzną tnącą.

Płaszczyzna powinna przecinać nie mniej i nie więcej niż trzy pręty kratownicy. 

Metoda Rittera - przecięcie płaszczyzną

Rys. 6.13 Metoda Rittera - przecięcie płaszczyzną

Po przecięciu prętów płaszczyzną, zaznaczamy w każdym przeciętym pręcie siłę wewnętrzną. Po oznaczeniu sił wewnętrznych możemy podzielić kratownice na część lewą i prawą.

Metoda Rittera - lewa strona przekroju

Rys. 6.14 Metoda Rittera - lewa strona przekroju

Metoda Rittera - prawa strona przekroju

Rys. 6.15 Metoda Rittera - prawa strona przekroju
Metoda Rittera daje nam możliwość użycia aż sześciu równań do obliczania sił w prętach.

\[\sum F_x^L=0\ ,\ \sum F_x^P=0\ \\\sum F_y^L=0\ ,\ \sum F_y^P=0 \\\sum M_i^L=0\ ,\ \sum M_i^P=0 \]

Wykorzystując równowagę pomiędzy siłami wewnętrznymi w zewnętrznymi możemy obliczać sumy rzutów sił na oś x i y zarówno po lewej jak i po prawej stronie przekroju.

Podobnie z sumą momentów w dowolnym punkcie, możemy liczyć ją po stronie lewej jak i po stronie prawej przekroju.

Przykładowe zadania

Zadanie 1

Obliczyć reakcje podporowe w kratownicy o schemacie statycznym przedstawionym na rysunku. Schemat statyczny kratownicy

Rys. 6.16 Schemat statyczny kratownicy
1
W pierwszym kroku zastępujemy podpory odpowiednimi dla nich reakcjami podporowymi.
Jak zastąpić podpory odpowiednimi dla nich reakcjami? Kliknij tutaj

Podpory zastąpione odpowiednimi reakcjami

Rys. 6.17 Podpory zastąpione odpowiednimi reakcjami
2
Następnie ustalamy  sposób znakowania. Przyjmujemy płaski układ współrzędnych w którym będziemy działać oraz dodatni i ujemny zwrot momentu.

 ustalenie układu współrzędnych oraz sposobu znakowania momentu

Rys. 6.18 Sposób znakowania
3
Teraz zapisujemy równanie sumy rzutów sił równoległych do osi x. Szukamy na naszej kratownicy sił, które są równoległe do osi x. 
Jeśli ich zwrot jest zgodny ze zwrotem osi x przyjętego na wstępie układu współrzędnych, siłę znakujemy w równaniu jako dodatnią, jeśli zwrot jest przeciwny do zwrotu osi siłę znakujemy jako ujemną.

\[\sum F_{x}=0\Rightarrow\ 4kN+H_{D}=0 \\H_{D}=-4kN \]

Z powyższego równania wyznaczyliśmy reakcje H D, której wartość wyszła ujemna, co oznacza, że wektor HD działa z przeciwnym zwrotem.

Powyższe oznaczamy na rysunku poprzez skreślenie założonego zwrotu, wrysowanie nowego oraz wpisanie wartości bezwzględnej reakcji na rysunku.

Znak ujemny przy obliczaniu wartości wektora reakcji zastępujemy zmianą zwrotu wektora na rysunku, stąd na rysunku wpisujemy wartość bezwzględną reakcji z właściwym (uprzednio zmienionym) zwrotem.

Obliczenie reakcji poziomej Hd

Rys. 6.19 Obliczenie reakcji poziomej HD
4
Następnie zapisujemy równanie sumy momentów w punkcie D aby obliczyć reakcję V F. Wybieramy punkt D ponieważ odległość reakcji V D od punktu D jest równa zero a co za tym idzie moment względem punktu D tej reakcji będzie również równy zero. 
Dzięki temu otrzymamy równanie z jedną niewiadomą. 
Na tym etapie, nie ma sensu zapisywać równania sumy rzutów sił na os Y ponieważ będą w nim występowały dwie niewiadome.

\[\sum M_{D}=0\Rightarrow\ 4kN\times4m+10 kN\times3m-V_{F}\times6m=0 \\V_{F}\times6m=-46kNm/\div6m \\V_{F}=7,67kN \] 

Jak znakować moment przy obliczaniu reakcji podporowych? Kliknij tutaj

Na rysunku zaznaczamy obliczoną wartość reakcji. Nie zmieniamy założonego zwrotu reakcji ponieważ obliczona wartość reakcji V F jest dodatnia. Obliczenie reakcji pionowej VF

Rys. 6.20 Obliczenie reakcji pionowej VF
5
Zapisujemy równanie sumy momentów w punkcie F aby obliczyć reakcje V D. Nie korzystamy z sumy rzutów sił na oś Y ponieważ w przypadku gdyby wyliczona wartość reakcji V F była błędna, będziemy kontynuować błąd i wartość reakcji V D również będzie błędna. 
Licząc moment w punkcie F, odległość reakcji V F od punktu F jest równa zero, a co za tym idzie nie będzie tworzyć w tym punkcie momentu. Obliczymy zatem reakcje V D zupełnie niezależnie od wcześniej obliczonej reakcji V F.

\[\sum M_{F}=0\Rightarrow\ 4kN\times4m-10 kN\times3m+V_{D}\times6m=0 \\V_{D}\times6m=14kNm/\div6m \\V_{D}=2,33kN \]

Na rysunku zaznaczamy obliczoną wartość reakcji. Nie zmieniamy założonego zwrotu reakcji ponieważ obliczona wartość reakcji V F jest dodatnia.Obliczenie reakcji pionowej VD

6.21 Obliczenie reakcji pionowej VD
6
Wykonujemy sprawdzenie poprawności obliczeń. 
Aby sprawdzenie było reprezentatywne powinniśmy wykorzystać takie równanie, którego jeszcze nie używaliśmy do obliczania żadnej z reakcji. Wykorzystamy równanie sumy rzutów sił na oś Y, jeśli suma wszystkich sił pionowych będzie równa zero to znaczy że układ statyczny jest w równowadze a co za tym idzie obliczone wartości reakcji są właściwe. 
Szukamy sił równoległych do osi Y i jeśli mają zwrot zgodny ze zwrotem osi dodajemy, jeśli ujemny odejmujemy.

\[\sum\ F_{y}=0\Rightarrow 2,33kN-10kN+7,67kN=0\]

Wynik równania jest zerowy co oznacza, że reakcje obliczyliśmy poprawnie.

Zadanie 2

Na podstawie twierdzeń o prętach zerowych wyznaczyć pręty zerowe w kratownicy z zadania 1. Kratownica z wyznaczonymi reakcjami podporowymi

Rys. 6.22 Kratownica z wyznaczonymi reakcjami podporowymi

Możemy zauważyć, że w węźle C schodzą się tylko dwa pręty oraz węzeł jest nieobciążony. Węzeł C

Rys. 6.23 Węzeł C

Zgodnie z pierwszym twierdzeniem o prętach zerowych oba pręty w węźle są zerowe (siła w nich wynosi zero). Pręty zerowe w węźle C

Rys. 6.24 Pręty zerowe w węźle C

W węźle A również schodzą się dwa pręty i jest on obciążony siłą równoległą do jednego z prętów. Węzeł A

Rys. 6.25 Węzeł A

Zgodnie z drugim twierdzeniem o prętach zerowych pręt AD jest prętem zerowym.

Pręt zerowy w węźle A

Rys. 6.26 Pręt zerowy w węźle A

W węźle E schodzą się trzy pręty z czego dwa z nich są współliniowe (leżą na jednej prostej) oraz węzeł jest nieobciążony. Węzeł E

Rys. 6.27 Węzeł E

Zgodnie z trzecim twierdzeniem o prętach zerowych pręt BE jest prętem zerowym. Pręt zerowy w węźle E

Rys. 6.28 Pręt zerowy w węźle E

W analizowanej kratownicy, na podstawie trzech twierdzeń o prętach zerowych możemy wskazać trzy pręty w których siła wewnętrzna jest równa zero. 

Pręty zerowe możemy oznaczać kółkiem na rysunku: Zestawienie prętów zerowych

Rys. 6.29 Zestawienie prętów zerowych

Zadanie 3

Dla kratownicy z zadania 1 wyznaczyć siły wewnętrzne w prętach metodą równoważenia węzłów (węzłową).

Kratownica z wyznaczonymi reakcjami podporowymi

Rys. 6.30 Kratownica z wyznaczonymi reakcjami podporowymi
Na czym polega metoda równoważenia węzłów? Kliknij tutaj

W metodzie węzłowej mamy do dyspozycji dwa równania, sumę rzutów sił na oś x oraz sumę rzutów sił na oś y. Dlatego możemy wyciąć wyłącznie taki węzeł w którym mamy dwie niewiadome siły w prętach.

Na początek możemy zatem wyciąć albo węzeł A albo C. Zacznijmy np. od wycięcia węzła A.

Kratownica - wycięcie węzła A

Rys. 6.31 Wycięcie węzła A

Kratownica - wycięcie węzła A

Rys. 6.32 Wycięcie węzła A

Teraz zapiszemy równania sumy rzutów sił na oś x i oś x oraz wyznaczymy z nich wartości sił wewnętrznych w prętach AB i AD.

\[\sum\ F_{x}=0\Rightarrow 4kN+S_{AB}=0 \\S_{AB}=-4kN\] \[\sum\ F_{y}=0\Rightarrow S_{AD}=0 \]

Z obliczeń wynika że wartość siły wewnętrznej w pręcie AB jest ujemna co oznacza że jest to pręt ściskany. Z uwagi na brak sił pionowych w węźle A wartość siły wewnętrznej w pręcie AD jest równa zero, co potwierdza drugie twierdzenie o prętach zerowych (zadanie 2).

Siły w prętach w węźle A

Rys. 6.33 Siły w prętach w węźle A

Następnie wycinamy węzeł C i podobnie jak w przypadku węzła A korzystając z sumy rzutów na oś x i oś y obliczamy siły w prętach.

Wycięcie węzła C

Rys. 6.34 Wycięcie węzła C

Wycięcie węzła C

Rys. 6.35 Wycięcie węzła C

\[\sum\ F_{x}=0\Rightarrow S_{BC}=0 \\\sum\ F_{y}=0\Rightarrow S_{CF}=0 \] 

Z uwagi na brak sił w węźle C zarówno siły wewnętrzne w pręcie BC jak i w pręcie CF są równe zero. Potwierdza to pierwsze twierdzenie o prętach zerowych (zadanie 2).

Następnym węzłem, który możemy wyciąć jest węzeł D. Z uwagi na fakt, że znamy już siłę wewnętrzną w pręcie AD, wycinając węzeł D pozostaną nam dwie niewiadome siły w prętach DE i BD.

Wycięcie węzła D

Rys. 6.36 Wycięcie węzła D

Wycięcie węzła D

Rys. 6.37 Wycięcie węzła D

Zanim przystąpimy do zapisywania równań rzutów się na oś x i oś y musimy rozłożyć siłę w pręcie BD na składowe równoległe do osi x i osi y.

Jak rozłożyć siłę na składowe? Kliknij tutaj

Rozkład siły w pręcie BD na składowe

Rys. 6.38 Rozkład siły w pręcie BD na składowe

Korzystając z własności funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym obliczamy składową równoległą do osi x i do osi y.

\[S_{BDx}=S_{BD}\times\cos\beta \\S_{BDy}=S_{BD}\times\sin\beta \]

Aby ustalić wartości sinusa i cosinusa kąta beta nie musimy szukać wartości kąta, wystarczy nam że znamy wymiary naszej kratownicy.

Obliczanie sinusa i cosinusa kąta beta

Rys. 6.39 Obliczanie sinusa i cosinusa kąta beta

\[\sin\beta=\frac{4}{5}=0,8 \\\cos\beta=\frac{3}{5}=0,6 \\\ S_{BDx}=S_{BD}\times0,6 \\S_{BDy}=S_{BD}\times0,8 \]

Teraz mając siłę w pręcie BD rozłożoną na składowe możemy przystąpić do zapisania równań sumy rzutów sił na oś x i na oś y.

Węzeł D przygotowany do dalszych obliczeń

Rys. 6.40 Węzeł D przygotowany do dalszych obliczeń

\[\sum F_{y}=0\Rightarrow2,33kN+0,8S_{BD}=0 \\0,8S_{BD}=-2,33kN \\S_{BD}=-2,91kN \\\sum F_{x}=0\Rightarrow-4kN+0,6S_{BD}+S_{DE}=0 \\-4kN-0,62,91kN+S_{DE}=0 \\S_{DE}=5,75kN \]

Teraz z powodzeniem możemy wyciąć węzeł E ponieważ znając wartość siły wewnętrznej w pręcie DE, w węźle E po jego wycięciu pozostaną tylko dwie niewiadome siły

Wycięcie węzła E

Rys. 6.41 Wycięcie węzła E

Wycięcie węzła E

Rys. 6.42 Wycięcie węzła E

Teraz zapiszemy równania rzutów sił na oś x i na oś y oraz obliczymy wartości sił wewnętrznych w prętach BE i EF.

\[\sum F_{x}=0\Rightarrow-5,75kN+S_{EF}=0 \\S_{EF}=5,75kN \\\sum F_{y}=0\Rightarrow S_{BE}=0 \]

Z obliczeń wynika że wartość siły wewnętrznej w pręcie EF jest dodatnia co oznacza że jest to pręt rozciągany. Z uwagi na brak sił pionowych w węźle E wartość siły wewnętrznej  w pręcie BE jest równa zero, co potwierdza trzecie twierdzenie o prętach zerowych (zadanie 2).

Siły w prętach w węźle E

Rys. 6.43 Siły w prętach w węźle E

Ostatnim węzłem, który został nam do wycięcia jest węzeł F. Tylko dwie siły wewnętrzne w prętach w węźle F są niewiadome więc możemy je obliczyć używając równań sumy rzutów sił na oś x i na oś y.

Wycięcie węzła F

Rys. 6.44 Wycięcie węzła F

Rozkład siły w pręcie BF na składowe wykonujemy w taki sam sposób jak przy wycięciu węzła D. Możemy wykorzystać wartości sinusa i cosinusa kąta beta obliczone wcześniej.

Wycięcie węzła F

Rys. 6.45 Wycięcie węzła F

Zapisujemy równania sumy rzutów sił na oś x i na oś y:

\[\sum F_{x}=0\Rightarrow-5,75kN-0,6S_{BF}=0 \\S_{BF}=-9,58kN \\\sum F_{y}=0\Rightarrow 7,67kN+0,8S_{BF}+S_{BE}=0 \\7,67kN-0,8\times9,58+S_{BE}=0 \\S_{BE}=0 \]

Z obliczeń wynika że wartość siły wewnętrznej w pręcie BF jest ujemna co oznacza że jest to pręt ściskany. Wartość siły w pręcie BE wyszła zerowa co potwierdza pierwsze twierdzenie o prętach zerowych (zadanie 2).

Skoro mamy już obliczone wartości sił wewnętrznych we wszystkich prętach naszej kratownicy możemy zrobić zbiorcze zestawienie wyników. 

Na schemacie statycznym kratownicy zaznaczamy obliczone wartości sił wewnętrznych (wartości bezwzględne) oraz rysujemy odpowiednie zwroty sił wewnętrznych. 

W przypadku siły ujemnej (pręt ściskany) zwroty sił skierowane są na zewnątrz pręta (akcja i reakcja, odpowiedź sił wewnętrznych na ściskanie).

W przypadku siły dodatniej (pręt rozciągany) zwroty sił wewnętrznych skierowane są do wewnątrz.

Zbiorcze zestawienie sił w prętach

Rys. 6.46 Zbiorcze zestawienie sił w prętach

Zadanie 4

Dla kratownicy z zadania 1 obliczyć siły wewnętrzne w prętach metoda Rittera.

Dokonujemy pierwszego przekroju zgodnie z zasadami metody Rittera (przez trzy pręty nie wychodzące z jednego węzła). 

Przekrój metody Rittera płaszczyzną tnącą

Rys. 6.47 Przekrój metody Rittera płaszczyzną tnącą
Na czym polega metoda Rittera? Kliknij tutaj

Lewa strona przekroju

Rys. 6.48 Lewa strona przekroju

Teraz możemy zapisać równanie sumy momentów w punkcie D dla lewej strony przekroju. 

Dzięki temu, że przez punkt D przechodzą kierunki działania sił w prętach BD i DE, odległości tych sił od punktu D są równe zero a co za tym idzie moment również jest zerowy. Eliminując dwie niewiadome z równania będziemy mogli z niego wyznaczyć siłę w pręcie AB.

Zakładamy podobnie jak przy obliczaniu reakcji że moment obracający w prawo to moment dodatni.

Jak znakować moment przy obliczaniu reakcji podporowych? Kliknij tutaj

\[\sum M_D^L=0\Rightarrow4kN\times4m+S_{AB}\times4m=0 \\S_{AB}=-4kN \\\sum F_Y^L=0\Rightarrow2,33kN+0,8S_{ED}=0 \\S_{ED}=-2,91kN\]

Jak widzimy wszystkie wyniki zgadzają się z uzyskanymi za pomocą metody równoważenia węzłów. W tym przekroju została nam do obliczenia jeszcze siła wewnętrzna w pręcie DE. Tym razem skorzystamy z prawej części przekroju. 

Prawa strona przekroju

Rys. 6.49 Prawa strona przekroju

Aby obliczyć siłę wewnętrzna w pręcie DE zapiszemy równanie sumy momentów w punkcie B. Odległości kierunków wektorów sił AB i BD od punktu B są równe zero więc moment tych sił względem tego punktu również jest równy zero. Zatem z tego równania możemy obliczyć niewiadomą siłę w pręcie DE.

\[\sum M_B^P=0\Rightarrow S_{DE}\times4m-7,67kN\times3m=0 \\S_{DE}=5,75kN\]

Jak widzimy wartość siły w pręcie zgadza się z wartością obliczoną metodą równoważenia węzłów. 

Jeśli siły w prętach liczone dwoma różnymi metodami mają takie same wyniki, można z dużą dozą prawdopodobieństwa stwierdzić że są poprawne.

Aby obliczyć wartości sił w pozostałych prętach dokonujemy kolejnego przekroju Rittera. Przekrój płaszczyzną tnącą

Rys. 6.50 Przekrój płaszczyzną tnącą

Prawa strona przekroju

Rys. 6.51 Prawa strona przekroju

Z równania sumy momentów względem punktu F wyznaczamy siłę w pręcie BC, natomiast z równania sumy rzutów sił na oś Y wyznaczamy siłę w pręcie BF.

\[\sum M_F^P=0\Rightarrow S_{BC}=0 \\\sum F_Y^P=0\Rightarrow 7,67kN+0,8S_{BF}=0 \\S_{BF}=-9,58kN\]

Oczywiście wszystkie wyniki pozostają w zgodzie z uzyskanymi za pośrednictwem metody równoważenia węzłów.

Teraz wykorzystując lewą stronę przekroju obliczymy siłę wewnętrzną w pręcie EF. Lewa strona przekroju

Rys. 6.52 Lewa strona przekroju

Zapisujemy równanie sumy momentów w punkcie B oraz obliczamy wartość siły wewnętrznej w pręcie EF.

\[\sum M_B^L=0\Rightarrow4kN\times4m+2,33kN\times3m- S_{EF}\times4m=0 \\S_{EF}=5,75kN \]

Otrzymana wartość jest równa tej obliczonej przy wykorzystaniu metody równoważenia węzłów.

Znalazłeś błąd lub potrzebujesz pomocy? Napisz do nas Napisz do nas