Do poprawnego oglądania tej strony, należy włączyć obsługę JavaScript!

Reakcje podporowe

Reakcja podporowa inaczej reakcja w węźle, jest to siła (wektor), który powstaje w miejscu gdzie ciało (belka, rama, kratownica) jest połączone z podporą, w chwili kiedy uwolnimy je od tej podpory

Reakcje nazywamy siłami biernymi ponieważ stanowią one odpowiedź na działanie sił czynnych (obciążeń działających na belkę, ramę czy kratownicę).

Siła skupiona punktowa

Rys. 12.1 Siła skupiona punktowa

W tym artykule

Przykładowe zadania

Reakcje a III zasada dynamiki Newtona

Aby zrozumieć pojęcie reakcji musimy przypomnieć sobie trzecią zasadę dynamiki Newtona:

Jeśli ciało A działa siłą (siła akcji) na ciało B to ciało B działa na ciało A dokładnie taką samą siłą (siła reakcji) co do wartości, kierunku ale o przeciwnym zwrocie

Wyobraźmy sobie, że próbujemy pchnąć ścianę (inaczej: działamy na nią siłą). 

Przykład III zasady Newtona

Rys. 12.2 Nacisk na ścianę

Jak można się domysleć, ściana będzie stawiać opór tj. będzie oddziaływać na nas taką sama siłą co do wartości, kierunku ale o przeciwnym zwrocie. 

Inaczej: pchamy ścianę a ta pcha nas.

My wywołujemy akcje, a ściana reakcje. 

Dzięki temu, że ściana równoważy naszą siłę zarówno my, jak i ściana pozostaje w równowadze układu sił (w bezruchu).

Przykład powstawania reakcji

Rys. 12.3 Przykład powstawania reakcji

Kolejnym przykładem działania reakcji jest sytuacja, kiedy np. siedzimy na krześle:

Krzesło - obciążenie jako akcja

Rys. 12.4 Krzesło - obciążenie jako akcja

Nasza masa pomnożona przez przyspieszenie ziemskie, daje siłę z jaką naciskamy na krzesło.

Krzesło stawia opór naszej sile, a więc działa na nas z taką samą siłą co do wartości, kierunku ale o przeciwnym zwrocie. 

Mówiąc prościej: my naciskamy na krzesło, a krzesło naciska na nas:

    Krzesło - akcja i reakcja

Rys. 12.5 Krzesło - akcja i reakcja

Dzięki temu, że siły oddziaływania się równoważą, siedząc na krześle pozostajemy w spoczynku.

Aby można mówić o reakcji, działająca siła musi napotkać na opór (który stawia ciało)

Reakcje w belce

Innym, interesującym przykładem działania reakcji jest belka swobodnie podparta i jej przykład z życia tj. most.

Reakcje na moście - przykład belki swobodnie podpartej

Rys. 12.6 Reakcje na moście

Jak wiemy na belce mogą występować różnego rodzaju obciążenia takie jak siła skupiona, obciążenie ciągłe, moment skupiony, które powodują oddziaływania mostu na przyczółki (elementy podparcia). 

Most naciska na przyczółki, które stawiają opór (akcja - reakcja).

Obciążenie na moście wywołuje siły akcji (siły czynne) natomiast podpory oddają siły reakcji (siły bierna), których obliczenie będzie naszym zadaniem.

Jak zastąpić podpory reakcjami?

Warunkiem niezbędnym, aby powstała reakcja jest siła (czyli akcja) działająca na ciało, które stawia opór.

Zgodnie z powyższym aby w danej podporze wystąpiła reakcja na danym kierunku, podpora musi blokować ruch na tym kierunku. 

Pamiętajmy, że na płaszczyźnie (w układzie płaskim) mamy tylko trzy możliwe kierunki ruchu wzdłuż osi x (poziomy), wzdłuż osi y (pionowy) oraz ruch obrotowy. Możliwe kierunki ruchu na płaszczyźnie

Rys. 12.7 Możliwe kierunki ruchu na płaszczyźnie

Podpora przegubowa przesuwna

Możemy w prosty sposób sprawdzić jakimi reakcjami zastąpić daną podporę. 

Wystarczy myślowo przyłożyć do podpory silę na kierunku pionowym i poziomym oraz moment skupiony i przeanalizować który z wyżej wymienionych ruchów podpora blokuje. 

Jeśli podpora blokuje ruch na danym kierunku to znaczy że siła napotka na opór a co za tym idzie wystąpi reakcja. 

Podpora przegubowa przesuwna jak widzimy na poniższym obrazku blokuje nam możliwość ruchu pionowego (wzdłuż osi y) natomiast pozwala na ruch poziomy i dzięki połączeniu przegubowemu pozwala na ruch obrotowy. 

Możliwe kierunki ruchu - podpora przegubowa przesuwna

Rys. 12.8 Możliwe kierunki ruchu - podpora przegubowa przesuwna

Dlatego właśnie taką podporę zastępujemy wyłącznie jedną reakcją pionową:

Reakcje - podpora przegubowa przesuwna

Rys. 12.9 Reakcje - podpora przegubowa przesuwna

Podpora przegubowa nieprzesuwna

Postępujemy dokładnie tak samo jak w przypadku podpory przegubowej przesuwnej. 

Podpora przegubowa nieprzesuwna jak obrazku poniżej blokuje nam możliwość ruchu pionowego (wzdłuż osi y) oraz poziomego (wzdłuż osi x) natomiast dzięki połączeniu przegubowemu pozwala na ruch obrotowy. 

Możliwe kierunki ruchu - podpora przegubowa nieprzesuwna

Rys. 12.10 Możliwe kierunki ruchu - podpora przegubowa nieprzesuwna

Dlatego właśnie taką podporę zastępujemy dwoma reakcjami poziomą i pionową.

Reakcje - podpora przegubowa nieprzesuwna

Rys. 12.11 Reakcje - podpora przegubowa nieprzesuwna
Możemy dowolnie założyć zwrot reakcji, ważny jest kierunek jej działania

Wspornik - utwierdzenie

Wspornik blokuje nam możliwość ruchu pionowego (wzdłuż osi y), poziomego (wzdłuż osi x) oraz ruchu obrotowego. 

Jak widzimy wspornik odbiera (blokuje) wszystkie możliwe kierunki ruchu układu na płaszczyźnie.  Możliwe kierunki ruchu - wspornik

Rys. 12.12 Możliwe kierunki ruchu - wspornik

Można również powiedzieć, że utwierdzenie odbiera wszystkie trzy stopnie swobody zatem tego typu podporę zastępujemy trzema reakcjami poziomą, pionową i momentem. Reakcje - wspornik

Rys. 12.13 Reakcje - wspornik

Wspornik przesuwny - łyżwa

Wspornik przesuwny potocznie nazywany łyżwą lub teleskopem blokuje nam możliwość ruchu poziomego (wzdłuż osi x) oraz ruchu obrotowego.  Możliwe kierunki ruchu - teleskop (łyżwa)

Rys. 12.14 Możliwe kierunki ruchu - teleskop (łyżwa)

Zastępujemy go zatem dwoma reakcjami poziomą i momentem:

Reakcje - teleskop (łyżwa)

Rys. 12.15 Reakcje - teleskop (łyżwa)
"Wspornik", a "wspornik przesuwny" to dwie różne podpory

Zadanie 1

Obliczyć reakcje podporowe w belce swobodnie podpartej obciążonej jak na rysunku.

Belka swobodnie podparta obciążonaRys. 12.16 Belka swobodnie podparta obciążona
1
Pierwszym etapem zadania jest zastąpienie podpór odpowiednimi dla nich reakcjami.
Jak zastąpić podpory odpowiednimi dla nich reakcjami? Kliknij tutaj
Podpory zastąpione odpowiednimi reakcjamiRys. 12.17 Podpory zastąpione odpowiednimi reakcjami
2
Następnie ustalamy sposób znakowania. Przyjmujemy płaski układ współrzędnych w którym będziemy działać oraz dodatni i ujemny zwrot momentu.
Sposób znakowaniaRys. 12.18 Sposób znakowania
3
Mamy do dyspozycji układ równań składający się z trzech równań równowagi: sumę rzutów sił na oś x, na oś y oraz sumę momentów w dowolnym punkcie:

\[\sum F_{x}=0 \\\sum F_{y}=0 \\\sum M_{i}=0\]

Zaczynamy obliczenia od równania z którego z pewnością wyznaczymy jedną z niewiadomych reakcji podporowych. Można zauważyć, że jeśli zapiszemy równanie sumy rzutów sił na oś x wystąpi w nim tylko jedna niewiadoma Ha, a co za tym idzie będziemy mogli obliczyć jej wartość. Szukamy zatem na belce sił równoległych do osi x i jeśli mają zwrot zgodny ze zwrotem osi wpisujemy do równania ze znakiem dodatnim a jeśli mają zwrot przeciwny do zwrotu osi wpisujemy do równania ze znakiem ujemnym.

\[\sum F_{x}=0\Rightarrow H_{A}-2kN=0 \\H_{A}=2kN \]

Wartość obliczonej reakcji zapisujemy na rysunku belki.

Obliczenie reakcji poziomej HaRys. 12.19 Obliczenie reakcji poziomej HA
4
Następnie skorzystamy z równania sumy momentów w punkcie A.

Dlaczego wybieramy punkt A? Chcemy znaleźć takie równanie w którym będzie tylko jedna niewiadoma aby móc ją obliczyć. Wiemy, że moment to siła pomnożona przez odległość. Odległość kierunku wektora Va od punktu A jest równa zero (punkt leży na kierunku działania wektora), zatem moment jaki tworzy reakcja Va w punkcie A jest równy zero. Oznacza to że reakcji V A nie będzie w naszym równaniu. Zostanie nam zatem jedna niewiadoma, którą obliczymy tj. reakcja podporowa Vb.

Jak obliczyć moment siły na belce? Kliknij tutaj

\[\sum M_{A}=0\Rightarrow10kN\times2m+\\8kNm+4kN\times9m-V_{B}\times6m=0 \\64kNm-V_{B}\times6m=0 \\-V_{B}\times6m=-64kNm/\div(-6m) \\V_{B}=10,67kN\]

Jak znakować moment przy obliczaniu reakcji podporowych? Kliknij tutaj

Wartość obliczonej reakcji zapisujemy na rysunku belki.

Obliczenie reakcji pionowej VbRys. 12.20 Obliczenie reakcji pionowej VB
5
Następnym równaniem, które wykorzystamy będzie suma momentów w punkcie B. Dzięki temu równaniu wyznaczymy reakcję podporową Va.

Dlaczego nie korzystam z sumy rzutów sił równoległych do osi Y?

Jeśli popełniliśmy błąd w obliczeniach reakcji Vb (jej wartość jest zatem błędna) i użyjemy teraz do obliczeń równania sumy rzutów sił na oś Y to obliczmy reakcję podporową Va używając błędnie obliczonej reakcji Vb. Będziemy kontynuować swój błąd.

Zapisując równanie sumy momentów w punkcie B, wiemy że odległość wektora reakcji Vb od punktu B jest równa zero a co za tym idzie moment tej reakcji w punkcie B ma wartość zerową.

Nawet jeśli wartość reakcji podporowej Vb była by błędna, to wartość reakcji podporowej Va będzie obliczona zupełnie niezależnie. Mówiąc prosto nie ciągniemy swojego błędu dalej.

\[\sum M_{B}=0\Rightarrow V_{A}\times6m-\\10kN\times4m+8kNm+4kN\times3m=0 \\V_{A}\times6m-20kNm=0 \\V_{A}=3,33kN\]

Pamiętaj, aby nie mnożyć momentu skupionego przez odległość! Moment skupiony dodajemy lub odejmujemy w równaniu momentów w zależności od jego zwrotu.

Wartość obliczonej reakcji zapisujemy na rysunku belki.

Obliczenie reakcji pionowej VaRys. 12.21 Obliczenie reakcji pionowej VA
6
Obliczyliśmy już wszystkie niewiadome reakcje podporowe, pozostaje wykonać sprawdzenie. Sprawdzenie nie jest obowiązkowe ale powinniśmy je wykonać aby wiedzieć czy obliczone przez nas wartości reakcji podporowych są poprawne czy nie.
Do sprawdzenia powinniśmy użyć takiego równania równowagi, którego jeszcze nie wykorzystywaliśmy w danym zadaniu do obliczania reakcji podporowych. Do równania sprawdzającego powinna wchodzić jak największa liczba obliczonych wcześniej reakcji podporowych.

W naszym przypadku jako równanie sprawdzające możemy wykorzystać sumę rzutów sił na oś Y. To równanie nie było jeszcze wykorzystywane w obliczeniach oraz będą się w nim zawierać reakcja V A i VB.

Szukamy zatem wszystkich sił równoległych do osi Y i jeśli ich zwrot jest zgodny ze zwrotem osi wpisujemy do równania ze znakiem plus, jeśli przeciwny do zwrotu osi Y wpisujemy do równania ze znakiem minus.

\[\sum F_{Y}=0\Rightarrow 3,33kN-10kN+10,67kN-4kN=0\]

Równanie sprawdzające się wyzerowało więc możemy stwierdzić, że reakcje podporowe zostały obliczone prawidłowo.

Zadanie 2

Obliczyć reakcje podporowe w belce obciążonej między innymi obciążeniem ciągłym równomiernie rozłożonym o schemacie statycznym jak na rysunku.

Belka swobodnie podparta obciążona

Rys. 12.22 Belka swobodnie podparta obciążona.

1
Pierwszym etapem zadania jest zastąpienie podpór odpowiednimi dla nich reakcjami.
Jak zastąpić podpory odpowiednimi dla nich reakcjami? Kliknij tutaj
Podpory zastąpione reakcjamiRys. 12.23 Podpory zastąpione odpowiednimi reakcjami
2
Następnie ustalamy sposób znakowania. Przyjmujemy płaski układ współrzędnych w którym będziemy działać oraz dodatni i ujemny zwrot momentu.
Wyznaczony sposób znakowaniaRys. 12.24 Sposób znakowania
3
Teraz powinniśmy zastąpić obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone siła skupioną (siła wypadkowa) o wartości reprezentującej siłę ciężkości tego obciążenia.

Powyższą siłę wypadkową powinniśmy umieścić w środku ciężkości działającego obciążenia. Nasze obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone ma kształt prostokątny. Środek ciężkości prostokąta leży na przecięciu się jego przekątnych.

Wartość siły wypadkowej czyli siła ciężkości z jaką obciążenie ciągłe działa na belkę będzie równe wadze obciążenia ciągłego [kN/m] pomnożonej przez długość jaką obciążenie zajmuje na belce [m].
obciążenie ciągłe zastapione siła wypadkowąRys. 12.25 Zastąpienie obciążenia ciągłego siła wypadkową

Siłę wypadkową traktujemy jak siłę skupiona przyłożoną w określonym punkcie.

4
Obliczamy sumę rzutów sił na oś X oraz obliczamy wartość reakcji podporowej H A.

\[\sum F_{X}=0\Rightarrow H_{A}+5kN=0 \\H_{A}=-5kN\]

Obliczona wartość rekcji Ha jest ujemna, co oznacza że wektor reakcji działa z przeciwnym zwrotem do założonego na rysunku. Na rysunku skreślamy założony uprzednio zwrot, rysujemy zwrot przeciwny, oraz wpisujemy wartość bezwzględną reakcji

Obliczenie siły reakcji poziomejRys. 12.26 Obliczenie reakcji poziomej HA
5
Obliczamy sumę momentów w punkcie A w celu wyznaczenia reakcji podporowej V B.
Jak obliczyć moment siły na belce? Kliknij tutaj

\[\sum M_{A}=0\Rightarrow 20kN\times2m+\\6kNm-2kN\times9m- V_{B}\times6m=0 \\V_{B}=4,67kN\]

Jak znakować moment przy obliczaniu reakcji podporowych? Kliknij tutaj
Reakcja pionowa wynik obliczeniaRys. 12.27 Obliczenie reakcji pionowej VB
6
W celu obliczenia ostatniej niewiadomej reakcji podporowej Va wykorzystamy równanie sumy momentów w punkcie B.
Pamiętaj pomimo, że moment skupiony jest przyłożony w punkcie B, należy go uwzględnić w trakcie liczenia sumy momentów w punkcie B.

\[\sum M_{B}=0\Rightarrow V_{A}\times6m-20kN\times4m+6kNm-2kN\times3m=0 \\V_{A}=13,33kN\]

Obliczenie reakcji pionowej - wynikRys. 12.28 Obliczenie reakcji pionowej VA
7
Obliczyliśmy już wszystkie niewiadome reakcje podporowe, pozostaje wykonać sprawdzenie. Sprawdzenie nie jest obowiązkowe ale powinniśmy je wykonać aby wiedzieć czy obliczone przez nas wartości reakcji podporowych są poprawne czy nie.
Do sprawdzenia powinniśmy użyć takiego równania równowagi, którego jeszcze nie wykorzystywaliśmy w danym zadaniu do obliczania reakcji podporowych. Do równania sprawdzającego powinna wchodzić jak największa liczba obliczonych wcześniej reakcji podporowych.

W naszym przypadku jako równanie sprawdzające możemy wykorzystać sumę rzutów sił na oś Y. To równanie nie było jeszcze wykorzystywane w obliczeniach oraz będą się w nim zawierać reakcja V A i VB.

Szukamy zatem wszystkich sił równoległych do osi Y i jeśli ich zwrot jest zgodny ze zwrotem osi wpisujemy do równania ze znakiem plus, jeśli przeciwny do zwrotu osi Y wpisujemy do równania ze znakiem minus.

\[\sum F_{Y}=0\Rightarrow 13,33kN-20kN+4,67kN+2kN=0\]

Równanie sprawdzające się wyzerowało więc możemy stwierdzić, że reakcje podporowe zostały obliczone prawidłowo.

Zadanie 3

Obliczyć reakcje podporowe w belce wspornikowej obciążonej między innymi obciążeniem ciągłym równomiernie rozłożonym o schemacie statycznym jak na rysunku.

Przykład belki wspornikowej obciążonej obciążeniem ciągłymRys. 12.29 Belka wspornikowa obciążona
1
Pierwszym etapem zadania jest zastąpienie podpór odpowiednimi dla nich reakcjami.
Jak zastąpić podpory odpowiednimi dla nich reakcjami? Kliknij tutaj
Jak zastąpić podpory odpowiednimi reakcjamiRys. 12.30 Podpory zastąpione odpowiednimi reakcjami
2
Następnie ustalamy sposób znakowania. Przyjmujemy płaski układ współrzędnych w którym będziemy działać oraz dodatni i ujemny zwrot momentu.
Ustalenie sposobu znakowaniaRys. 12.31 Sposób znakowania
3
W kolejnym kroku zastępujemy obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone siła skupioną (siła wypadkowa) o wartości reprezentującej siłę ciężkości tego obciążenia.

Powyższą siłę wypadkową powinniśmy umieścić w środku ciężkości działającego obciążenia. Nasze obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone ma kształt prostokątny. Środek ciężkości prostokąta leży na przecięciu się jego przekątnych.

Wartość siły wypadkowej czyli siła ciężkości z jaką obciążenie ciągłe działa na belkę będzie równe wadze obciążenia ciągłego [kN/m] pomnożonej przez długość jaką obciążenie zajmuje na belce [m].
Zastąpienie obciążenia ciągłego siła wypadkowąRys. 12.32 Zastąpienie obciążenia ciągłego siła wypadkową

Siłę wypadkową traktujemy jak siłę skupiona przyłożoną w określonym punkcie.

4
W celu wyznaczenia wartości reakcji podporowej Ha skorzystamy z równania sumy rzutów sił na oś x.

\[\sum F_{X}=0\Rightarrow H_{A}-7kN=0 \\ H_{A}=7kN\] Wartość reakcji zaznaczamy na rysunku.

 Obliczenie reakcji poziomej Ha

Rys. 12.33 Obliczenie reakcji poziomej HA
5
Następnie skorzystamy z równania sumy rzutów sił na oś Y. Jeśli zapiszemy to równanie, jedyną niewiadomą będzie reakcja podporowa Va a co za tym idzie będziemy mogli wyznaczyć jej wartość.

\[\sum F_{Y}=0\Rightarrow V_{A}+3kN-40kN=0 \\ V_{A}=37kN\]

Wartość obliczonej reakcji podporowej Va zaznaczamy na rysunku.

Obliczenie reakcji poziomej VaRys. 12.34 Obliczenie reakcji poziomej Va
6
Ostatnią reakcją podporową na belce wspornikowej jaka została nam do wyznaczenia jest moment w utwierdzeniu Ma. Aby obliczyć wartość reakcji Ma niezależnie od wcześniej wyznaczonych reakcji podporowych H A i V A możemy wykorzystać równanie sumy momentów w puncie A.
Jak obliczyć moment siły na belce? Kliknij tutaj

\[\sum M_{A}=0\Rightarrow -M_{A}-\\3kN\times2m+40kN\times6m+10kNm=0 \\ M_{A}=244kNm\]

Jak znakować moment przy obliczaniu reakcji podporowych? Kliknij tutaj

Obliczoną reakcję zaznaczamy na rysunku.

Obliczenie reakcji podporowej MaRys. 12.35 Obliczenie reakcji podporowej MA
7
W ostatnim etapie zadania pozostaje wykonać sprawdzenie czy obliczone przez nas wartości reakcji podporowych w belce wspornikowej są poprawne.

W tym przypadku do sprawdzenia obliczeń nie możemy wykorzystać równania sumy rzutów sił na oś Y ponieważ wcześniej z tego równania wyznaczyliśmy niewiadomą reakcję podporową M A.

Pozostaje jedynie obrać sobie dowolny punkt na belce (oczywiście poza punktem A) i obliczyć w nim sumę momentów przy wykorzystaniu wyznaczonych reakcji. Załóżmy, że swobodny koniec belki wspornikowej oznaczę jako punkt B oraz jako równanie sprawdzające zapiszę sumę momentów w punkcie B.

Sprawdzenie - suma momentów w pukcie BRys. 12.36 Sprawdzenie - suma momentów w pukcie B

\[\sum M_{B}=-10kNm-40kN\times5m+\\3kN\times9m-244kNm+37kN\times11m=0\]

Wynik sprawdzenia jest równy zero, możemy zatem stwierdzić że poprawnie obliczyliśmy wartości reakcji podporowych w zadanej belce wspornikowej.

Zadanie 4

Obliczyć reakcje podporowe w belce przegubowej (gerberowskiej) obciążonej między innymi obciążeniem ciągłym nierównomiernie rozłożonym o schemacie statycznym jak na rysunku.

Belka przegubowa obciążonaRys. 12.37 Belka przegubowa obciążona
1
Pierwszym etapem zadania jest zastąpienie podpór odpowiednimi dla nich reakcjami podporowymi..
Jak zastąpić podpory odpowiednimi dla nich reakcjami? Kliknij tutaj
Podpory zastąpione odpowiednimi reakcjamiRys. 12.38 Podpory zastąpione odpowiednimi reakcjami
2
Następnie ustalamy sposób znakowania. Przyjmujemy płaski układ współrzędnych w którym będziemy działać oraz dodatni i ujemny zwrot momentu.
Sposób znakowaniaRys. 12.39 Sposób znakowania
3
W kolejnym kroku zastępujemy obciążenie ciągłe nierównomiernie rozłożone siła skupioną (siła wypadkowa) o wartości reprezentującej siłę ciężkości tego obciążenia.

Powyższą siłę wypadkową powinniśmy umieścić w środku ciężkości działającego obciążenia. Nasze obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone ma kształt trójkąta prostokątnego. Środek ciężkości trójkąta prostokątnego leży w odległości jednej trzeciej podstawy (licząc od kąta prostego) oraz w jednej trzeciej wysokości (również licząc od kąta prostego).

Wartość siły wypadkowej czyli siła ciężkości z jaką obciążenie ciągłe działa na belkę będzie równe wadze obciążenia ciągłego [kN/m] pomnożonej przez długość jaką obciążenie zajmuje na belce [m] a następnie podzielonej przez dwa (wzór na pole powierzchni trójkąta)
Zastąpienie obciążenia ciągłego siła wypadkowąRys. 12.40 Zastąpienie obciążenia ciągłego siła wypadkową

Siłę wypadkową traktujemy jak siłę skupioną przyłożoną w określonym punkcie.

4
W celu wyznaczenia wartości reakcji podporowej Ha skorzystamy z równania sumy rzutów sił na oś x.

\[\sum F_{X}=0\Rightarrow H_{A}-12kN=0 \\ H_{A}=12kN\] Wartość reakcji zaznaczamy na rysunku.

Obliczenie reakcji poziomej HaRys. 12.41 Obliczenie reakcji poziomej HA

Do tego punktu obliczenia nie różniły się od obliczeń dla zwykłej belki swobodnie podpartej. Zarówno reakcje jak i wykresy sił wewnętrznych w belce przegubowej możemy obliczać klasycznie korzystając z własności przegubów lub możemy belkę przegubową rozłożyć na belki proste.

Pierwszy przykład rozwiążemy korzystając z własności przegubów, bez rozkładania belki gerberowskiej na belki proste.

Nasza belka gerberowska składa się z dwóch belek połączonych ze sobą przegubem. Wiemy że przegub to takie połączenie dwóch lub większej ilości elementów, które pozwala na ich wzajemny ruch obrotowy.

Konsekwencją powyższego jest fakt, że przegub nie przenosi momentu, a co za tym idzie moment liczony w punkcie przegubu zawsze powinien mieć wartość zerową.

Dzięki tym właściwością połączeń przegubowych dla naszej belki przegubowej (gerberowskiej) możemy używać poza standardowym zestawem równań równowagi, dwóch dodatkowych równań. W miejscu przegubu (punkt C) wiemy że moment będzie równy zero liczony zarówno po lewej jak i po prawej stronie.

Podział belki w przegubie - strona lewa i prawaRys. 12.42 Podział belki w przegubie - strona lewa i prawa

Standardowy zestaw równań:

\[\sum F_{X}=0 \\\sum F_{Y}=0 \\\sum M_{i}=0\]

Dodatkowe równania sumy momentów w przegubie::

\[\sum M_C^L=0 \\\sum M_C^P=0\]

5
W celu obliczenia reakcji podporowej Vd wykorzystamy równanie sumy momentów w punkcie C (w przegubie) po prawej stronie. W tym równaniu będziemy mieli tylko jedną niewiadomą rekcję podporową Vc i dlatego będziemy mogli wyznaczyć jej wartość.
Jak znakować moment przy obliczaniu reakcji podporowych? Kliknij tutaj

\[\sum M_C^P=0\Rightarrow24kN\times4m-V_{D}\times6=0 \\V_{D}=16kN \]

Obliczenie reakcji pionowej VdRys. 12.43 Obliczenie reakcji pionowej VD
6
Teraz zapisując równanie sumy momentów w punkcie A uwzględniając w obliczeniach całą belkę, wyznaczymy wartość reakcji B.

\[\sum M_{A}=0\Rightarrow20kN\times2m+7kNm-\\V_{B}\times4m+24kN\times11m-16kN\times13m=0 \\V_{B}=25,75kN\]

Obliczenie reakcji pionowej VbRys. 12.44 Obliczenie reakcji pionowej VB
7
Wykorzystując sumę momentów w przegubie (punkt C) po lewej stronie możemy wyznaczyć wartość reakcji podporowej V A

\[\sum M_C^L=0\Rightarrow25,75kN\times3m-\\20kN\times5m+7kNm+V_{A}\times7m=0 \\V_{A}=2,25kN\]

Obliczenie reakcji pionowej VaRys. 12.45 Obliczenie reakcji pionowej VA
8
Skoro mamy wyznaczone wartości wszystkich reakcji podporowych w zadanej belce przegubowej, powinniśmy wykonać sprawdzenie czy obliczone wartości są prawidłowe. Do sprawdzenia wartości obliczonych reakcji podporowych możemy wykorzystać równanie sumy rzutów sił na oś Y, ponieważ w trakcie prowadzonych obliczeń to równanie nie zostało wykorzystane..

\[\sum F_{Y}=2,25kN-20kN+25,75kN-24kN+16kN=0\]

Sprawdzenie pokazuje nam, że wartości reakcji w belce przegubowej obliczyliśmy prawidłowo.

Zadanie 5

Obliczyć reakcje podporowe w belce przegubowej (gerberowskiej) obciążonej między innymi obciążeniem ciągłym nierównomiernie rozłożonym o schemacie statycznym jak na rysunku rozkładając belkę przegubową na belki proste.

Belka przegubowa obciążonaRys. 12.46 Belka przegubowa, obciążona
1
Aby podzielić belkę przegubową na belki proste musimy dokonać myślowego przecięcia belki w przegubie.
Przecięcie belki w przegubieRys. 12.47 Przecięcie belki w przegubie

Po przecięciu belki w przegubie powstały nam dwie osobne belki proste jak na rysunku poniżej.

Dwie belki proste otrzymane wskutek cięcia w przegubieRys. 12.48 Wynik cięcia - dwie belki proste
2
Teraz należy się zastanowić która z tych dwóch belek może stać samodzielnie (która jest statyczna) a która wymaga dodatkowego podparcia. Belka po lewej stornie jest podparta dwoma podporami, podporą przegubowo przesuwną i przegubowo nieprzesuwną a co za tym idzie jest statyczna.

Belka po prawej stronie oparta jest wyłącznie na jednej podporze przegubowo przesuwnej a co za tym idzie nie jest statyczna i wymaga dodatkowego podparcia.

Układając schemat pracy belek prostych belka, która nie jest statyczna (jest ruchoma) musi opierać się na belce statycznej (nieruchomej). W naszym przypadku belka po prawej stronie przegubu musi opierać się na statycznej belce po lewej stronie przegubu.

Zamiast przegubu wstawiamy podporę wirtualną, którą kreskujemy w celu odróżnienia od pozostałych podpór. Podpora wirtualna pełni funkcję podparcia w miejscu przegubu.

 Schemat statyczny działania belek prostych

Rys. 12.49 Schemat statyczny działania belek prostych
Bardzo ważne jest aby obliczenia reakcji podporowych rozpoczynać od najwyższej belki w schemacie statycznym.

Jest to bardzo istotne aby właściwie uwzględnić wpływ belki wyższej w schemacie statycznym na belkę niższą. Ten wpływ uwzględnimy poprzez obliczenie reakcji w podporze wirtualnej na belce wyższe, a następnie przekazanie ich na belkę wyższą ze zmienionym zwrotami.

3
Mając na uwadze powyższe, obliczenia zaczynamy od belki położonej wyżej w schemacie działania belek prostych (belka prosta nr 1). Przerysowujemy belkę, zastępujmy jej podpory odpowiednimi dla nich reakcjami oraz podobnie jak w poprzednim zadaniu obciążenie ciągłe nierównomiernie rozłożone zastępujemy siła skupioną (siła wypadkowa) o wartości reprezentującej siłę ciężkości tego obciążenia.
Jak zastąpić podpory odpowiednimi dla nich reakcjami? Kliknij tutaj
Belka prosta nr 1Rys. 12.50 Belka prosta nr 1

Teraz korzystając z równania sumy rzutów sił na oś x a następnie sumy momentów w punkcie C i D podobnie jak we wcześniejszych przykładach obliczymy reakcje podporowe w belce prostej n r 1 zarówno w podporze rzeczywistej w punkcie D jak i w podporze wirtualnej w punkcie C.

Jak znakować moment przy obliczaniu reakcji podporowych? Kliknij tutaj

\[\sum F_{X}=0\Rightarrow H_{C}-12kN=0 \\H_{C}=12kN \\\sum M_{C}=0\Rightarrow24kN\times4m-V_{D}\times6=0 \\V_{D}=16kN \\\sum M_{D}=0\Rightarrow V_{C}\times6m-24kN\times2m=0 \\V_{C}=8kN\]

Obliczone reakcje w belce prostej nr 1Rys. 12.51 Obliczone reakcje w belce prostej nr 1

Następnie wykonujemy sprawdzenie poprawności wykonanych obliczeń. Do sprawdzenia możemy wykorzystać równanie sumy rzutów sił na oś Y, ponieważ nie było używane do wyznaczenia żadnej z reakcji podporowych. \[\sum F_{Y}=0\Rightarrow 8kN-24kN+16kN=0 \]

4
Teraz możemy przejść do obliczeń reakcji podporowych na belce położonej niżej w schemacie statycznym (belka prosta nr 2)
Aby uwzględnić oddziaływanie belki wyższej (belka prosta nr 1) na belkę niższą (belka prosta nr 2) obliczone reakcje w podporze wirtualnej (V C i H C) musimy przekazać na belkę niższą (belka prosta nr 2) z przeciwnymi zwrotami.
Oddziaływanie belki wyższej na belkę niższąRys. 12.52 Oddziaływanie belki wyższej na belkę niższą
5
Następnie obliczamy reakcje podporowe w belce prostej nr 2 obciążonej dodatkowo oddziaływaniem belki prostej nr 1 (siły reakcji (V C i H C).

Wykorzystując równania sumy rzutów sił na oś x a następnie sumy momentów w punktach A i B obliczamy pozostałe niewiadome reakcje podporowe.

\[\sum F_{X}=0\Rightarrow H_{A}-12kN=0 \\H_{A}=12kN \\\sum M_{A}=0\Rightarrow 20kN\times2m+\\7kNm-V_{B}\times4m+8kN\times7m=0 \\V_{B}=25,75kN \\\sum M_{B}=0\Rightarrow V_{A}\times4m-\\20kN\times2m+7kNm+8kN\times3m=0 \\V_{A}=2,25kN \]

Obliczone reakcje w belce prostej nr 2Rys. 12.53 Obliczone reakcje w belce prostej nr 2
6
Następnie wykonujemy sprawdzenie poprawności wykonanych obliczeń. Do sprawdzenia możemy wykorzystać równanie sumy rzutów sił na oś Y, ponieważ nie było używane do wyznaczenia żadnej z reakcji podporowych.

\[\sum F_{Y}=2,25kN-20kN+25,75kN-8kN=0\]

Sprawdzenie pokazuje nam że poprawnie wyznaczyliśmy wartości reakcji podporowych w belce prostej nr 2.

7
Następnie możemy zaznaczyć wszystkie obliczone reakcje podporowe na kompletnym schemacie belki gerberowskiej i wykonać ostateczne sprawdzenie dla całej belki wykorzystując równanie sumy rzutów sił na oś Y dla całej belki.
Obliczone reakcje podporowe w belce przegubowejRys. 12.54 Obliczone reakcje podporowe w belce przegubowej

\[\sum F_{Y}=2,25kN-20kN+25,75kN-24kN+16kN=0\]

Sprawdzenie pokazuje nam że prawidłowo obliczyliśmy wartości reakcji w belce przegubowej.

Zadanie 6

Obliczyć reakcje podporowe w ramie obciążonej między innymi obciążeniem ciągłym równomiernie rozłożonym o schemacie statycznym jak na rysunku.

Rama obciążonaRys. 12.55 Rama obciążona
1
W pierwszym kroku zastępujemy podpory odpowiednimi dla nich reakcjami podporowymi.
Jak zastąpić podpory odpowiednimi dla nich reakcjami? Kliknij tutaj

Podpory zastąpione odpowiednimi reakcjami

Rys. 12.56 Podpory zastąpione odpowiednimi reakcjami
2
Następnie ustalamy sposób znakowania. Przyjmujemy płaski układ współrzędnych w którym będziemy działać oraz dodatni i ujemny zwrot momentu.
Przyjęty sposób znakowaniaRys. 12.57 Przyjęty sposób znakowania
3
W kolejnym kroku zastępujemy obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone siła skupioną (siła wypadkowa) o wartości reprezentującej siłę ciężkości tego obciążenia.

Powyższą siłę wypadkową powinniśmy umieścić w środku ciężkości działającego obciążenia.

Wartość siły wypadkowej czyli siła ciężkości z jaką obciążenie ciągłe działa na belkę będzie równe wadze obciążenia ciągłego [kN/m] pomnożonej przez długość jaką obciążenie zajmuje na słupie ramy [m].
Zastąpienie obciążenia ciągłego siłą wypadkowąRys. 12.58 Zastąpienie obciążenia ciągłego siłą wypadkową

Siłę wypadkową traktujemy jak siłę skupioną przyłożoną w określonym punkcie

4
W celu wyznaczenia wartości reakcji podporowej Ha skorzystamy z równania sumy rzutów sił na oś x.

\[\sum F_{X}=0\Rightarrow H_{A}+6kN-80kN=0 \\ H_{A}=74kN\]

Wartość reakcji zaznaczamy na rysunku.

Obliczenie reakcji poziomej HaRys. 12.59 Obliczenie reakcji poziomej Ha
5
Następnie podobnie jak w przypadku belek, korzystając z równań sumy momentów w punkcie A i B obliczymy pozostałe reakcje podporowe w ramie.
Jak znakować moment przy obliczaniu reakcji podporowych? Kliknij tutaj
6
Zacznijmy od zapisania równania sumy momentów w puncie A. Aby właściwie ustalić znak momentu możemy posłużyć się podobnie jak w przypadku belek śmigłami wiatraka króre wykonują obrót wokół punktu A.
Jak znakować momenty w ramachRys. 12.60 Znakowanie momentu w ramie

Jak widzimy na rysunku siła 6kN obraca śmigłami w punkcie A w prawo (zgodnie z ruchem wskazówek zegara) co zgodnie z przyjętym przez nas sposobem znakowania oznacza moment dodatni. Odległość kierunku wektora siły 6kN od punktu A wynosi 5 m, co za tym idzie siłę 6 kN pomnożymy przez odległość 5 m i wpiszemy do równania momentów ze znakiem dodatnim. Podobnie postępujemy z pozostałymi siłami na ramie.

\[\sum M_{A}=0\Rightarrow 6kN\times5m+7kNm+\\20kN\times4m-80kN\times5m-V_{B}\times8m=0 \\V_{B}=-35,38kN\]

Mając na uwadze, że wartość reakcji podporowej Vb jest ujemna, na rysunku zmieniamy zwrot wektora oraz zapisujemy wartość bezwzględną reakcji.

 Obliczenie reakcji pionowej VbRys. 12.61 Obliczenie reakcji pionowej VB
7
Następnie zapisując równanie sumy momentów w punkcie B, obliczymy wartość reakcji podporowej A.

Przy znakowaniu momentów podobnie jak wcześniej możemy posłużyć się zdjęciem śmigieł wiatraka, tym razem ze środkiem obrotu w punkcie B.

Jak znakować momenty w ramach?Rys. 12.62 Jak znakować momenty w ramach?

\[\sum M_{B}=0\Rightarrow 80kN\times5m-\\20kN\times4m+7kNm+6kN\times5m+V_{A}\times8m=0 \\V_{A}=55,38kN\]

Obliczoną wartość reakcji podporowej V A zaznaczamy na rysunku.

Obliczenie reakcji pionowej VaRys. 12.63 Obliczenie reakcji pionowej VA
8
Jeśli mamy już obliczone wszystkie reakcje podporowe możemy zapisać równanie sprawdzające. Możemy wykorzystać równanie sumy rzutów się na oś Y ponieważ do tej pory nie używaliśmy tego równania w obliczeniach reakcji.

\[\sum F_{Y}=55,38kN-20kN-35,38kN=0 \]

Równanie sprawdzające potwierdza nam, że prawidłowo obliczyliśmy wartości reakcji podporowych.

Zadanie 7

Obliczyć reakcje podporowe w ramie wspornikowej obciążonej między innymi obciążeniem ciągłym równomiernie rozłożonym o schemacie statycznym jak na rysunku.

Rama wspornikowa obciążonaRys. 12.64 Rama wspornikowa obciążona
1
W pierwszym kroku zadania należy zastąpić podpory odpowiednimi dla nich reakcjami podporowymi.
Jak zastąpić podpory odpowiednimi dla nich reakcjami? Kliknij tutaj
Podpory zastąpione odpowiednimi reakcjamiRys. 12.65 Podpory zastąpione odpowiednimi reakcjami
2
Następnie ustalamy sposób znakowania. Przyjmujemy płaski układ współrzędnych w którym będziemy działać oraz dodatni i ujemny zwrot momentu.
Sposób znakowaniaRys. 12.66 Sposób znakowania
3
W kolejnym kroku zastępujemy obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone siła skupioną (siła wypadkowa) o wartości reprezentującej siłę ciężkości tego obciążenia.

Powyższą siłę wypadkową powinniśmy umieścić w środku ciężkości działającego obciążenia.

Wartość siły wypadkowej czyli siła ciężkości z jaką obciążenie ciągłe działa na belkę będzie równe wadze obciążenia ciągłego [kN/m] pomnożonej przez długość jaką obciążenie zajmuje na słupie ramy [m].
Zastąpienie obciążenia ciągłego siłą wypadkowąRys. 12.67 Zastąpienie obciążenia ciągłego siłą wypadkową

Siłę wypadkową traktujemy jak siłę skupioną przyłożoną w określonym punkcie.

4
Teraz korzystając z równania sumy rzutów sił na oś x, równania sumy rzutów sił na oś Y oraz równania sumy momentów w punkcie A podobnie jak w belce wspornikowej obliczymy reakcje podporowe w ramie.

\[\sum F_{X}=0\Rightarrow H_{A}-12kN=0 \\H_{A}=12kN \\\sum F_{Y}=0\Rightarrow V_{A}-20kN=0 \\V_{A}=20kN \\\sum M_{A}=0\Rightarrow -M_{A}+5kNm+\\20kN\times5m-12kN\times9m=0 \\\sum M_{A}=-3kNm\]

Obliczone reakcje podporowe w ramieRys. 12.68 Obliczone reakcje podporowe w ramie
5
Mając obliczone wszystkie reakcje podporowe pozostaje nam wykonać sprawdzenie. Jako równanie sprawdzające możemy wykorzystać sumę momentów w punkcie B. Tego równania nie wykorzystywaliśmy jeszcze w obliczeniach oraz uwzględnimy w nim wszystkie wyżej obliczone reakcje.

\[\sum M_{B}=-12kN\times3m-20kN\times5m+5kNm+\\20kN\times10m-12kN\times6m+3kNm=0\]

Sprawdzenie potwierdziło, że uzyskane przez nas wyniki są poprawne.

Zadanie 8

Obliczyć reakcje podporowe w ramie przegubowej obciążonej między innymi obciążeniem ciągłym równomiernie rozłożonym o schemacie statycznym jak na rysunku.

Rama przegubowa obciążonaRys. 12.69 Rama przegubowa obciążona
1
W pierwszym kroku zadania należy zastąpić podpory odpowiednimi dla nich reakcjami podporowymi.
Jak zastąpić podpory odpowiednimi dla nich reakcjami? Kliknij tutaj
Podpory zastąpione odpowiednimi reakcjamiRys. 12.70 Podpory zastąpione odpowiednimi reakcjami
2
Następnie ustalamy sposób znakowania. Przyjmujemy płaski układ współrzędnych w którym będziemy działać oraz dodatni i ujemny zwrot momentu.
Sposób znakowaniaRys. 12.71 Sposób znakowania
3
W kolejnym kroku zastępujemy obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone siła skupioną (siła wypadkowa) o wartości reprezentującej siłę ciężkości tego obciążenia.

Powyższą siłę wypadkową powinniśmy umieścić w środku ciężkości działającego obciążenia.

Wartość siły wypadkowej czyli siła ciężkości z jaką obciążenie ciągłe działa na belkę będzie równe wadze obciążenia ciągłego [kN/m] pomnożonej przez długość jaką obciążenie zajmuje na słupie ramy [m].
Zastąpienie obciążenia ciągłego siłą wypadkowąRys. 12.72 Zastąpienie obciążenia ciągłego siłą wypadkową

Siłę wypadkową traktujemy jak siłę skupioną przyłożoną w określonym punkcie.

4
Podobnie jak w belce przegubowej, tak i w ramie przegubowej możemy skorzystać z własności połączeń przegubowych. Nasza rama składa się z dwóch ram połączonych ze sobą za pośrednictwem przegubu. Wiemy że przegub to takie połączenie dwóch lub większej ilości elementów, które pozwala na ich wzajemny ruch obrotowy.
Konsekwencją powyższego jest fakt, że przegub nie przenosi momentu, a co za tym idzie moment liczony w punkcie przegubu zawsze powinien mieć wartość zerową.

Dzięki tym właściwością połączeń przegubowych dla naszej ramy przegubowej możemy używać poza standardowym zestawem równań równowagi, dwóch dodatkowych równań. W miejscu przegubu (punkt C) wiemy że moment będzie równy zero liczony zarówno po lewej jak i po prawej stronie.

Podział ramy w przegubie - strona lewa i prawaRys. 12.73 Podział ramy w przegubie - strona lewa i prawa

Standardowy zestaw równań:

\[\sum F_{X}=0 \\\sum F_{Y}=0 \\\sum M_{i}=0\]

Dodatkowe równania sumy momentów w przegubie:

\[\sum M_C^L=0 \\\sum M_C^P=0\]

5
W pierwszej kolejności możemy zapisać równanie sumy momentów w punkcie A dla całej ramy. Jedyną niewiadomą w tym równaniu będzie reakcja Vb, a co za tym idzie będziemy mogli wyznaczyć jej wartość. Następnie zapiszemy równanie sumy momentów w punkcie B i z tego równania wyznaczymy niewiadomą reakcję Va.

\[\sum M_{A}=0\Rightarrow3kN\times4m-6kN\times8m+\\50kN\times7,5m+12kNm-V_{B}\times10m=0 \\V_{B}=35,1kN\]

\[\sum M_{A}=0\Rightarrow 12kNm-50kN\times2,5m-\\6kN\times8m+3kN\times4m+V_{A}\times10m=0 \\V_{A}=14,9kN \]

Obliczone wartości reakcji podporowych zaznaczamy na rysunku

Obliczone reakcje podporowe Va i VbRys. 12.74 Obliczone reakcje podporowe VA i VB
6
Korzystając z równań sumy momentów w przegubie (punkt C) po stronie prawej i po stronie lewej (podobnie jak w przypadku belki przegubowej) obliczymy reakcje podporowe H A i H B.

Obliczone wartości reakcji podporowych zaznaczamy na rysunku:

Obliczone reakcje podporowe w ramie przegubowejRys. 12.75 Obliczone reakcje podporowe w ramie przegubowej
7
Pozostało nam zapisać równanie sprawdzające w celu sprawdzenia czy obliczone wartości reakcji podporowych są poprawne. Jako równanie sprawdzające możemy wykorzystać równanie sumy momentów w przegubie (punkt C) dla całej ramy, ponieważ nie wykorzystywaliśmy jeszcze tego równania w obliczeniach oraz uwzględni ono wszystkie obliczone wcześniej reakcje.

\[\sum M_C=14,9kN\times5m-7,8kN\times8m-\\3kN\times4m+50kN\times2,5m+12kNm+\\4,8kN\times8m-35,1kN\times5m=0,08kN\cong0 \]

Wynik sprawdzenia to 0,08 kN co mieści się w granicach dopuszczalnego błędu mając na uwadze obliczenia elementów konstrukcyjnych. Sprawdzenie potwierdziło poprawność naszych obliczeń.

Znalazłeś błąd lub potrzebujesz pomocy? Napisz do nas Napisz do nas