Do poprawnego oglądania tej strony, należy włączyć obsługę JavaScript!

Moment bezwładności

Moment bezwładności określa nam bezwładność danego ciała w jego ruchu obrotowym wokół wybranej osi obrotu.

Wysoka wartość momentu bezwładności powoduje, że ciężko jest zmienić ruch obrotowy danego ciała wokół osi (zwiększyć lub zmniejszyć prędkość obrotu wokół osi). 

Niska wartość momentu bezwładności względem danej osi pozwoli nam w łatwy sposób zmieniać jego prędkość w ruchu obrotowym wokół tej osi.


Moment bezwładności względem osi

Rys. 14.1 Moment bezwładności względem osi
Moment bezwładności zawsze jest wartością dodatnią

Warto zapamiętać, że pojęcie momentu bezwładności jest nierozerwalnie związane z pojęciem osi obrotu tj. osi względem której będziemy obliczać moment bezwładności danego ciała.

Jeśli zatem w treści zadania jest napisane, że mamy obliczyć moment bezwładności, musi być jednocześnie zdefiniowana oś względem, której należy go obliczyć.

Moment bezwładności obliczamy zawsze względem danej osi

Najczęściej w zadaniach z mechaniki czy wytrzymałości materiałów będziemy obliczać centralne momenty bezwładności, a więc liczone względem osi centralnych (przechodzących przez środek ciężkości figury).


Moment bezładności względem osi centralnej

Rys. 14.2 Moment bezładności względem osi centralnej
Oś centralna to oś, która przechodzi przez środek cienkości figury płaskiej

Przykłady

Wyobraźmy sobie dwa samochody poruszające się po drodze. Załóżmy, że oba ważą tyle samo (mają równa masę), ale jeden z nich ma wyżej położony środek ciężkości, a drugi niżej (bliżej osi jezdni):


Samochód sportowy - środek ciężkości

Rys. 14.3 Samochód sportowy - środek ciężkości

Oba samochody wjeżdżają w zakręt. Siła odśrodkowa stara się “wyrzucić” samochody z zakrętu tj. chce je obrócić wokół osi jezdni.


Samochód cieżarowy - środek ciężkości

Rys. 14.4 Samochód cieżarowy - środek ciężkości wysoko

Który samochód będzie bardziej stabilny w zakręcie? Oczywiście ten z niżej położonym środkiem ciężkości. 

Dzieje się tak dlatego, ponieważ jego bezwładność jest mniejsza tj. jego moment bezwładności względem osi jezdni jest mniejszy.

Zatem pierwszym czynnikiem od którego zależy wartość momentu bezwładności jest odległość środka ciężkości ciała od osi obrotu tj. osi względem której będziemy obliczać moment bezwładności.

Im środek masy jakiegoś ciała jest dalej położony od osi tym bezwładność większa

Teraz wyobraźmy sobie kolejną sytuacje.

Znowu mamy dwa samochody poruszające się po drodze. Tym razem ich środki ciężkości są na tych samych wysokościach, jednak jeden z samochodów ma sporo większą masę od drugiego: Środki ciężkości na tych samych wysokościach

Rys. 14.5 Środki ciężkości na tych samych wysokościach

Który z nich będzie stabilniejszy na szybko pokonywanym zakręcie?

Wbrew pozorom będzie to samochód lżejszy, ponieważ kolejnym czynnikiem wpływającym na bezwładność ciała i jego moment bezwładności względem danej osi jest masa.

Im większa masa ciała tym większa jego bezwładność względem danej osi

Prostym przykładem są samochody sportowe, które są tak projektowane aby ich środki ciężkości były możliwie jak najbliżej jezdni (osi drogi) oraz aby ich masa była możliwie jak najmniejsza. 

Wszystko po to aby były możliwie najmniej bezwładne względem osi jezdni.

Moment bezwładności w budownictwie

W naszych zadaniach monety bezwładności będziemy obliczać dla figur płaskich tj. dla przekrojów belek i ram. 

Pojęcie masy zastąpimy więc na płaszczyźnie pojęciem pola powierzchni. 

Moment bezwładności na płaszczyźnie będzie zależał od:

1
pola powierzchni
2
odległości środka ciężkości tego pola powierzchni od osi względem, której będziemy obliczać moment bezwładności.

Moment bezwładności figury płaskiej

Rys 14.6 Moment bezwładności figury płaskiej

Teraz rozpatrzmy przekrój belki jak na rysunku poniżej i zastanówmy się względem której z dwóch osi centralnych moment bezwładności tej figury będzie przyjmował większą wartość?

Moment bezwładności

Rys. 14.7 Moment bezwładności

Przekrój belki którą widzimy na rysunku powyżej ma zdecydowanie większy wymiar pionowy od wymiaru poziomego.

Osie centralne Xo i Yo dzielą nam nasz przekrój belki na dwie części o równej masie, a wiec na płaszczyźnie na dwie części o równym polu powierzchni.  Moment bezwładności

Rys. 14.8 Moment bezwładności 

Jadnak łatwo zauważyć, że odległości środków ciężkości mas (pól powierzchni) od osi Xo są zdecydowanie większe niż odległości środki ciężkości mas (pól) od osi Yo. 

Mówiąc prościej: nasz przekrój jest bardziej zwarty (smukły) względem osi Yo, dzięki czemu masa jest blisko osi. 

Natomiast masa jest zdecydowanie bardziej oddalona od osi Xo. 

Jak wiemy moment bezwładności zależy od masy i odległości środka tej masy od osi. 

Dlatego możemy bez dokonywania obliczeń stwierdzić, że w omawianym przepadku moment bezwładności przekroju względem osi Xo jest sporo większy niż względem osi Yo.

Wpływ momentu bezwładności na wytrzymałość belki

Wyobraźmy sobie, że mamy zwykłą drewniana deska.

Jeśli położymy ją na dwóch cegłach na płask i spróbujemy po niej przejść, deska się ugnie, a następnie prawdopodobnie złamie (zginanie względem osi Yo). 

Belka na płask - niska sztywność

Rys. 14.9 Belka na płask - niska sztywność

Jeśli tą samą deskę położymy na tych samych cegłach na sztorc, będzie ona dużo sztywniejsza, dzięki czemu nie pęknie (zginanie wokół osi Xo).

Belka na sztorc - wysoka sztywność

Rys. 14.10 Belka na sztorc - wysoka sztywność

Wynika to z tego, iż bezpośredni wpływ na sztywność belki - a co za tym idzie na jej wytrzymałość, ma moment bezwładności, który jest większy względem osi Xo.

Im większy moment bezwładności przekroju tym większa jego sztywność przy zginaniu

To wyjaśnia dlaczego np. dwuteowniki walcowane mają cienki środnik i półki położone możliwie jak najdalej od osi X.


Belka na sztorc - wysoka sztywność

Rys. 14.11 Belka na sztorc - wysoka sztywność
Im więcej masy dalej od osi tym większa bezwładność przekroju względem tej osi a co za tym idzie większa sztywność przy zginaniu.

Znalazłeś błąd lub potrzebujesz pomocy? Napisz do nas Napisz do nas